等比数列前n

等比数列的前n项和公式，可以通过一种称为错位相减法的技巧来推导。假设等比数列的首项为a1，公比为r，那么前n项的和可以表示为：

S_n = a_1 + a_1r + a_1r^2 + ... + a_1r^{n-1}。

当我们把每一项乘以公比r，得到新的数列：

rS_n = a_1r + a_1r^2 + a_1r^3 + ... + a_1r^n。

现在我们可以将这两个式子相减。通过这种方式，大部分项都会相消，只留下与首项和公比有关的几个项。当r不等于1时，经过相减我们可以得到前n项和的公式为：

S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}。

当公比r等于1时，数列的每一项都相同，此时等比数列变为等差数列，其前n项和公式简化为：

S_n = a_1n。

接下来我们通过例子来验证这个公式。假设首项a_1为2，公比r为3，项数n为4，带入公式计算得：

S_4 = 2 \frac{1 - 3^4}{1 - 3} = 80。

再假设首项a_1为16，公比r为二分之一，项数n为5，带入公式得：

S_5 = 16 \frac{1 - (\frac{1}{2})^5}{1 - \frac{1}{2}} = 31。

值得注意的是，当公比为负数时，如r=-1，公式依然适用。例如首项a_1为3，公比为-1，项数n为4时：

S_4 = 3 \frac{1 - (-1)^4}{1 - (-1)} = 0。这表明等比数列前四项的和在r为负数时仍然适用上述公式。综上所述我们可以确定等比数列的前n项和公式为：当公比r不等于1时，公式为 S_n = a_1 \frac{1 - r^n}{1 - r}，当公比r等于1时，公式简化为 S_n = a_1n。