高斯求和公式

一、公式定义

基本公式

公式表述：和 = (首项 + 末项) × 项数 ÷ 2

数学表达：\(S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}\)

其中，\(a_1\) 为首项，\(a_n\) 为末项，\(n\) 为项数。这个公式概括了等差数列求和的核心思想。

扩展公式

若已知公差 \(d\)（即相邻两项的差），公式可进一步表示为：\(S_n = \frac{n[2a_1 + (n-1)d]}{2}\)。简化后，可以得到二次函数形式：\(S_n = An^2 + Bn\)（其中 \(A, B\) 为常数）。这些公式为复杂等差数列的求和提供了便捷途径。

二、项数计算

项数公式为：\(n = \frac{a_n - a_1}{d} + 1\)。这个公式通过已知的首项、末项和公差，能够迅速计算出数列的项数。例如，数列 \(1+2+3+\dots+10\) 的项数为10，数列 \(4+8+12+\dots+28\) 的项数为7。

三、应用示例

连续自然数求和

对于数列 \(1+2+3+\dots+100\)，求和公式为：\(S = \frac{(1+100) \times 100}{2} = 5050\)。通项公式为：\(S = \frac{(1+n) \cdot n}{2}\)。

偶数列求和

以数列 \(2+4+6+\dots+20\) 为例，首项 \(a_1=2\)，末项 \(a_n=20\)，公差 \(d=2\)，项数 \(n=10\)，求和公式为：\(S = \frac{(2+20) \times 10}{2} = 110\)。

四、公式推导背景

高斯小学时通过对称配对法（如 \(1+100=101, 2+99=101, \dots\)）快速计算 \(1+2+\dots+100\)，由此总结出等差数列求和的通用方法。这一公式适用于任何首项、末项和公差已知的数列，展现了数学的巧妙与实用。